FLA课上提到”ZF公理系统”。

1908 年E.F.F.策梅洛提出了一个公理化的方案，其公理系统以集合和属于为仅有的两个不加定义的原始概念，其余有外延公理、空集存在公理、无序对集合存在公理、并集公理、幂集公理、无穷公理、分离公理、选择公理等。后来经过A.A.弗伦克尔和 A.T.斯科朗的改进，又补充了替换公理和正则公理，通称ZF公理系统，ZF公理系统集合论，对于排除康托尔朴素集合论的悖论和继承原有成果是相当成功的。

在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。这23个问题通称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未解决。他在讲演中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的信念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。

希尔伯特的23个问题分属四大块：第1到第6问题是数学基础问题；第7到第12问题是数论问题；第13到第18问题属于代数和几何问题；第19到第23问题属于数学分析。

【1】康托的连续统基数问题。
1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科思（P.Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明。在这个意义下，问题已获解决。

【2】算术公理系统的无矛盾性。
欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限归纳证明了算术公理系统的无矛盾性。

【3】只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。
问题的意思是：存在两个等高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。德思（M.Dehn）1900年已解决。
【4】两点间以直线为距离最短线问题。
此问题提的一般。满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在对称距离情况下，问题获解决。

【5】拓扑学成为李群的条件（拓扑群）。
这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。1952年，由格里森（Gleason）、蒙哥马利（Montgomery）、齐宾（Zippin）共同解决。1953年，日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。

【6】对数学起重要作用的物理学的公理化。
1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。后来，在量子力学、量子场论方面取得成功。但对物理学各个分支能否全盘公理化，很多人有怀疑。

【7】某些数的超越性的证明。
需证：如果α是代数数，β是无理数的代数数，那么αβ一定是超越数或至少是无理数（例如，2√2和eπ）。苏联的盖尔封特（Gelfond） 1929年、德国的施奈德（Schneider）及西格尔（Siegel）1935年分别独立地证明了其正确性。但超越数理论还远未完成。目前，确定所给的数是否超越数，尚无统一的方法。

【8】素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素共问题。
素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未最终解决，其最佳结果均属中国数学家陈景润。

【9】一般互反律在任意数域中的证明。
1921年由日本的高木贞治，1927年由德国的阿廷（E.Artin）各自给以基本解决。而类域理论至今还在发展之中。

【10】能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解？
求出一个整数系数方程的整数根，称为丢番图（约210-290，古希腊数学家）方程可解。1950年前后，美国数学家戴维斯（Davis）、普特南（Putnan）、罗宾逊（Robinson）等取得关键性突破。1970年，巴克尔（Baker）、费罗斯（Philos）对含两个未知数的方程取得肯定结论。1970年。苏联数学家马蒂塞维奇最终证明：在一般情况答案是否定的。尽管得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切联系。

【11】一般代数数域内的二次型论。
德国数学家哈塞（Hasse）和西格尔（Siegel）在20年代获重要结果。60年代，法国数学家魏依（A.Weil）取得了新进展。

【12】类域的构成问题。
即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去。此问题仅有一些零星结果，离彻底解决还很远。

【13】一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性。
七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依赖于3个参数a、b、c；x=x(a,b,c)。这一函数能否用两变量函数表示出来？此问题已接近解决。1957年，苏联数学家阿诺尔德（Arnold）证明了任一在〔0，1〕上连续的实函数f(x1，x2，x3)可写成形式∑hi(ξi(x1, x2),x3)(i=1–9)，这里hi和ξi为连续实函数。柯尔莫哥洛夫证明f(x1，x2，x3)可写成形式∑hi(ξi1(x1)+ξi2 (x2)+ξi3(x3))(i=1–7)这里hi和ξi为连续实函数，ξij的选取可与f完全无关。1964年，维土斯金（Vituskin）推广到连续可微情形，对解析函数情形则未解决。

【14】某些完备函数系的有限的证明。
即域K上的以x1,x2,…,xn为自变量的多项式fi（i=1,…，m），R为K〔X1，…，Xm]上的有理函数F（X1，…，Xm）构成的环，并且F（f1，…，fm）∈K[x1，…，xm]试问R是否可由有限个元素F1，…，FN的多项式生成？这个与代数不变量问题有关的问题，日本数学家永田雅宜于1959年用漂亮的反例给出了否定的解决。

【15】建立代数几何学的基础。
荷兰数学家范德瓦尔登1938年至1940年，魏依1950年已解决。
注一舒伯特（Schubert）计数演算的严格基础。
一个典型的问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观的解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学有密切的关系。但严格的基础至今仍未建立。

【16】代数曲线和曲面的拓扑研究。
此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部要求讨论备dx/dy=Y/X的极限环的最多个数N（n）和相对位置，其中X、Y是 x、y的n次多项式。对n=2（即二次系统）的情况，1934年福罗献尔得到N(2)≥1；1952年鲍廷得到N(2)≥3；1955年苏联的波德洛夫斯基宣布N(2)≤3，这个曾震动一时的结果，由于其中的若干引理被否定而成疑问。关于相对位置，中国数学家董金柱、叶彦谦1957年证明了（E2）不超过两串。1957年，中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了n＝2的方程具有至少3个成串极限环的实例。1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。1983年，秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环，并且是（1，3）结构，从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题，并为研究希尔伯特第（16）问题提供了新的途径。

【17】半正定形式的平方和表示。
实系数有理函数f(x1,…，xn)对任意数组（x1，…,xn）都恒大于或等于0，确定f是否都能写成有理函数的平方和？1927年阿廷已肯定地解决。

【18】用全等多面体构造空间。
德国数学家比贝尔巴赫（Bieberbach）1910年，莱因哈特（Reinhart）1928年作出部分解决。

【19】正则变分问题的解是否总是解析函数？
德国数学家伯恩斯坦（Bernrtein，1929）和苏联数学家彼德罗夫斯基（1939）已解决。

【20】研究一般边值问题。
此问题进展迅速，己成为一个很大的数学分支。日前还在继读发展。

【21】具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明。
此问题属线性常微分方程的大范围理论。希尔伯特本人于1905年、勒尔（H.Rohrl）于1957年分别得出重要结果。1970年法国数学家德利涅（Deligne）作出了出色贡献。

【22】用自守函数将解析函数单值化。
此问题涉及艰深的黎曼曲面理论，1907年克伯（P.Koebe）对一个变量情形已解决而使问题的研究获重要突破。其它方面尚未解决。

【23】发展变分学方法的研究。

看过很多关于双鱼的各种传说，分析，解释。似乎无一例外的把双鱼当作了一个女人的星座，动不动就是流眼泪，唉声叹气。可惜可叹，如果双鱼真的只是这样的一个星座，那么可以说没有一个人愿意去做双鱼，而历史上也不会有什么著名的双鱼人物了。

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　　最本质的部分：思考
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　　双鱼座的最本质特点是什么？善良？懦弱？温柔？不是，我告诉你，是思考（在很多情况下，是过多的思考）。
　　是的，双鱼座的一切特性，都来自于他过多的思考，或许世上没有第二个星座比双鱼座更能洞察别人的心理，更能分析事情的本质。
　　你可以称之为敏感，但是一旦这种敏感能够正确的使用，那么没有人能比双鱼座更快的学会人情事故，在这一方面，有一个双鱼座的伟人做的尤其出色，他的名字是周恩来。
　　
　　因为思考的太多，所以双鱼座的人就算不是真正善良的，也至少是表面善良的。对于双鱼来说，善良与其说是本质，不如说是双鱼喜欢的一种生活方式，以善良的方式活着，是轻松而又受人尊敬的，一般的双鱼座很早就能洞察到这一点。
　　
　　再谈谈温柔，这一点，不管是哪篇文章，都不会忘了提双鱼座的温柔。是的，双鱼的确是温柔的。因为双鱼总能敏感的体会到对方的细微变化，时刻了解到对方心意的转变，表现在行动上，就是能尽快的知道，什么时候应该为女孩披上自己的外衣，什么时候应该停下手里的活，转过身去和女友好好的说话。
　　
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　　与众不同的部分：信仰
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　　双鱼的信仰就是没有信仰！
　　在双鱼的世界里面，没有绝对的对和错，如果发生了一件事，他第一件做的事情是去理解这件事，去分析这件事，而不是去判断这件事是对的还是错的。
　　下面引用一段话说明双鱼的这个特点：
　　“鱼座男人没有偏见，没有亲自穿著鹿皮走几哩路，他不会评断印地安人；没有试试赤脚走路，他也不会评断裸体主义者。甚至这些做了，他还是会满心谅解而不会过于批评。他很少冷酷的指控，倒是每每温暖的忍耐，他甚至会试试了解他的岳母，天底下有几个男人能这样？海王子拥有罕见的同情精神，他的朋友向他吐露秘密而从不担忧会把他吓著，要吓到鱼起码需要两吨以上的炸弹。如果你和我以及你的鱼儿三人同坐一室，一个男人走进来告诉我们他有些担忧，因为他重婚，在四个州各有一个老婆，你可能眼睛瞪得大大瞧他，冒著火，心想监狱是最适合他的地方，我可能鄙夷的说他是个卑鄙的流氓，但你的鱼儿很可能问：“那四州？你爱不爱她们其中任何一个？”鱼很好奇，但防震。对他来说，这个家伙需要一缸子同情以及好得要命的律师。”
　　
　　有一位伟人利用了这点特性，结果成就了科学史上的神话，他就是爱因斯坦。
　　
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　　双鱼的致命缺点：懦弱
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　　现实中的双鱼座确实给人太多的失望，懦弱，多疑，自卑，优柔寡断，没有主见…..一个双鱼座或许没有上面全部的特点，但至少会有一，二个。就算是伟大如周恩来，有时候难免有些优柔寡断和没有主见，当然，这种时候不多。
　　
　　造成双鱼座优柔寡断的原因很简单。因为同样一个选择，在一个射手看来，只需要考虑2样东西，但是在双鱼看来，却需要考虑10样东西，因为他想的实在是太多了。简单的说一句话，双鱼都会想到它会给周围的人带来多少种不同的影响，它会让人对自己有怎么样的看法，会不会造成误解。（虽然很多时候，双鱼会冲动的把一些话脱口而出）
　　
　　至于多疑，这点和自卑联系的比较紧密。虽然双鱼座能轻易的了解对方的意图，看透事情的真相，但是却往往不能坚持住自己的观点，这种不能坚持大多数是因为双鱼座自己不愿接受这个事实，也有很多时候是因为双鱼对自己不够自信。关于前一点，比较突出的一个例子是，双鱼座的女孩不到男孩子直截了当的告诉她，他不爱她了，女孩就总是还抱有一线希望，虽然女孩心里明白的很。
　　
　　懦弱呢？关于这点，和信仰联系在一起。你一定觉得很奇怪，懦弱和信仰又有什么关系呢？
　　信仰是种很可怕的力量，他可以让一个人做出平时不敢做的事情，拥有不该拥有的勇气，牺牲不该牺牲的东西。而双鱼恰恰是没有一丁点信仰的，就算有，也不过是为了给生活加一点调味剂，或是给自己找一个避难所。对于双鱼来说，自己能过舒适，安稳的日子，比什么都重要。富贵如浮云，最想的开这点的就是双鱼座了。至于爱国什么的，酒饱饭足的双鱼可以慷慨激昂，也会不惜重金施于，但是只是建立在自己有好日子过的前提下。
　　接下来，可以解释下双鱼的懦弱了。
　　只要能让自己和爱人平平安安，有什么不可以忍受的呢？什么尊严，什么气节，见鬼去吧。所以只要不把双鱼逼到绝境，你尽可以嘲弄双鱼的懦弱。每条鱼的忍受范围都不同，但一般都比正常人多那么一点点。但是如果你不小心让一条鱼觉得无路可走了，那么你真的要小心了。鱼可以践踏人间一切法律，无视所有道理，更不会考虑自己的尊严和人格。你务必要相信这一点，虽然这种时候很少，但那只不过是因为上帝不想让人们经常看到地狱的惨状。

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　　双鱼的最大优点：感情
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　　与其说双鱼是个为爱情而活的星座，不如说双鱼是个为感情而活的星座。
　　对于双鱼来说，世界上最重要的东西是感情，一条精神上满足的鱼，可以没有其他东西，就已经是最幸福的人（当然，绝大多数情况下，没有其他东西，很难精神上满足）。
　　任何感情对于双鱼来说都是重要的，爱情很重要，但不见得会比亲情更重要，在双鱼的眼中。
　　
　　对于鱼来说，感情是单纯的，是单独的。鱼可以原谅对方的一切，只要那个人是真心对他好的。你可以十恶不赦，可以吃喝嫖赌，可以之前是人尽可夫的妓女，可以是个卑鄙无耻的骗子，都可以原谅，只要鱼能确定你是真心的喜欢他，对他好。但是请注意一点，大部分的鱼都比你聪明，不要以为你的小伎俩可以骗到鱼，你是不是真心喜欢他，他比谁都清楚。
　　
　　对于一个男孩子来说，双鱼女孩能给你对于一个女孩子想要的一切，温柔，爱你不顾一切，可爱（很多时候是装的，鱼大多数是很聪明的），体贴…..
　　对于一个女孩子来说，双鱼男孩….嗯….. 看你的运气了，如果你遇到的鱼是个没有志气，不想做事，玩玩乐乐的鱼，而且他已经25岁左右了，那么好心的提醒你，还是尽早离开他吧。除非你是个富婆，或者你只是找个情人（没有人比双鱼更适合做情人了：安全快乐而无副作用）。否则，你会经历世间最凄凉的婚姻和生活，阿门…………….
　　
　　那么如果你遇到的鱼是有事业心，能上进，肯做事的鱼，或者干脆就是事业有成的鱼，那么真的是恭喜你，你是千万少女中最幸运的一个，再挑剔的女人也无法对一个有上进心有事业的鱼有更多的要求了。你可以得到世界上一切的温柔和快乐，包括用钱买的到的和用钱买不到的，鱼很乐意把他的一切奉献给他爱的人，看到他爱的人开心，他会更开心。大部分的鱼的“一切”仅仅只有感情，而没有物质，但是我们现在讨论的是最优秀的那种鱼，那种能随时把名望和财富送给你的鱼，现在你知道你有多幸运了吧。

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　　提到感情不得不提的：公平
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　　很奇怪吗？公平对于双鱼来说，是个很重要的单词。
　　双鱼没有普遍意义上的价值观，是非观，你不能用这件事这样做是对的，那样做是错的来说服一个双鱼座。永远记住，鱼的世界里很少有对错。
　　那么鱼又是怎么来处理他和别人（尤其是爱人的关系）呢？就是公平。
　　
　　如果鱼曾经有过十几，二十个女朋友，那么他就不会在意你以前有过多少个男朋友，如果鱼一个不小心跑出去玩了一夜情，那么你一夜情的时候，他也会选择无所谓。
　　
　　好吧，就算你的鱼纯情的一塌糊涂，你是他（她）的第一次，他也可以原谅你的曾经花心，一时花心，可能会的花心，只要你能用足够的关心和真心的喜欢弥补。鱼大致兑换了下你的关心（兑换比例只有天知道了，呵呵），如果觉得双方大致公平的（相对于他对于你的感情付出），那么他就无所谓，就会原谅你。
　　
　　所以和鱼相处是件很简单的事情，只要你能保证你给他的和他为你付出的差不多多，就可以了。至于伦理道德嘛…嗯，讲真的，鱼从来不是教条主义者。
　　
　　反过来，如果你让鱼觉得你对他的关心不够多，对他的爱不够多（不够多是指没有他给你的多），那么鱼会在痛苦之后，也相应的减少对你的关心和爱，不要怀疑，这方面，鱼比谁都表现的现实和斤斤计较。

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　　感情中的完美主义
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　　鱼在意的东西很少，所以很不幸，鱼对于他在意的东西就是完美主义者的态度。
　　
　　对于鱼来说，完美的情人不是忠贞不二的情人，不是事业爱情兼顾的情人，也不是外形完美的情人。鱼要求的是“完美的爱”。
　　
　　你可以不经常说我爱你，但是你说的时候，一定要是真心实意。
　　你可以很少陪他逛街，但是你陪的时候，一定要是真的开开心心。
　　你也可以对他说很少的情话，但是你要保证，你对别人说的情话更少，而且你对他说的是真心的话。
　　
　　对于鱼来说，欺骗和做作是最不可原谅的。很多人以为简简单单的对鱼说几句我爱你，固定性的发些短信问候鱼，经常为鱼买些好东西就能让鱼觉得被爱了。真不幸，大部分鱼都聪明过了头，一般都能轻松辨别那些举动是真心的，那些不过是手段（如果你曾经用这些手段征服过双鱼女生，也别得意，只不过是双鱼女生比男生更难以拒绝别人而已）。
　　
　　所以，请诚实一点对待鱼，爱他多少就给他多少，他也会给你同样多。这至少比他生你的气好的多，不是吗？
　　
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　　双鱼真的浪漫吗？
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　　所有的星座解释都会说双鱼是浪漫的，但是所有和双鱼（特别是双鱼男生，一般浪漫都是指男生做的事情）接触过的人，都往往感觉不到双鱼的浪漫，到底是为什么呢？难道双鱼并不浪漫？
　　
　　我给你个肯定的答案，双鱼绝对浪漫，他脑子里面的浪漫点子不仅包含了所有好莱坞大片的经典场景，还有更多他自己的原创镜头，他时不时的都在幻想浪漫的场面，一个鱼可能在他18的时候就开始想他30岁结婚的布置。
　　
　　那么为什么现实中是两样呢？因为2点，自卑和善良。
　　前一点很好理解，大部分的浪漫需要自信。很多时候，不是鱼不想浪漫，而是不好意思和没胆子那么做，你能理解是吧，呵呵。
　　
　　那么自信的鱼呢？为什么他也不浪漫？
　　因为他没有遇到合适的人，因为他善良。
　　
　　双鱼的爱情大部分是有些被动的。鱼总是轻易的喜欢上一个女孩子（注意，我用的单词是喜欢），然后开始和这个女孩开始交往，然后十有八九，会发现这个女孩不是能给自己完美的爱的女孩（这是肯定的，遇到最合适自己的人哪有那么容易），鱼很现实的知道，他和这个女孩不可能有将来的，2个人能拥有只能是一段回忆。那么对鱼来说，绝大部分的情话都会说不出口，因为鱼自己知道这些话都是骗人的，很多浪漫的举动做不出来，因为鱼不敢让女孩陷的太深，怕分手的那一天女孩太伤心。很多人说处女，金牛的人想的多，其实鱼想的并不比他们少，只不过犹犹豫豫又舍不得的鱼，就算明了的知道和女孩没有将来，也不会点破，只会静静的维持，享受拥有的每一天。但是这样的情况下，鱼的善良就让鱼忍住了很多浪漫的情话和行动。
　　
　　我这么说是不是显的鱼很高尚？呵呵，没有什么真正高尚的人。鱼能如此的为女孩着想，是因为这么做能让鱼觉得自己很伟大，有一种悲剧式的美感，鱼愿意让自己沉浸在这种自我的意淫中。
　　
　　当然，这样至少比不顾别人的死活，只图自己开心要好的多是不是？所以还是应该为鱼们鼓鼓掌的。
　　
　　所以，如果有一天，你看到一条浪漫无比的鱼，不要怀疑，他已经认定你们有个美好的未来，他已经知道他不会给你太多的伤心了，那你还犹豫什么？上去拥抱你的幸福吧。

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　　结语：什么样是好的双鱼？
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　　双鱼有很多缺点，但是大多数都可以原谅。除了2条，懒惰和犹豫。
　　
　　而双鱼要成为一条好鱼，所需要的东西很简单，事业。
　　
　　其实不用去提醒鱼们其他的事情了，他们自己都能想明白。只需能保证鱼能稳步进行他们的事业就可以了。
　　
　　一旦鱼用心去赚钱了，那么他肯定能赚到钱。但是这一点很难，真的很难，如果有一天，你看到一条生龙活虎的鱼，千万不要放过，好好的捆住他，很有可能，他会带给你所有的梦想。

提到数学，我有一种感觉，数学是自然中最基础的学科，它是所有科学之父，没有数学，就不可能有其他科学的产生。就人类发展史而言，数学在其中起的作用是巨大的，难怪有人说数学是人类科学中最美的科学。但在数学的发展史中，并不是那么一帆风顺的，其中历史上曾发生过三大危机，危机的发生促使了数学本身的发展，因此我们应该辨证地看待这三大危机。第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。最后，这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。很显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。我认为第一次危机的产生最大的意义导致了无理数地产生，比如说我们现在说的对角线长度， 都无法用整数或整数之比来表示，那么我们必须引入新的数来刻画这个问题，这样无理数便产生了，正是有这种思想，当我们将负数开方时，人们引入了虚数i（虚数的产生导致复变函数等学科的产生，并在现代工程技术上得到广泛应用），这使我不得不佩服人类的智慧。但我个人认为第一次危机的真正解决在1872年德国数学家对无理数的严格定义，因为数学是很强调其严格的逻辑与推证性的。第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。其实我翻了一下有关数学史的资料，微积分的雏形早在古希腊时期就形成了，阿基米德的逼近法实际上已经掌握了无限小分析的基本要素，直到2100年后，牛顿和莱布尼兹开辟了新的天地——微积分。微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾．焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，另外Weistrass创立了 极限理论，加上实数理论，集合论的建立，从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。而我自己的理解是一个无穷小量，是不是零要看它是运动的还是静止的，如果是静止的，我们当然认为它可以看为零；如果是运动的，比如说1/n，我们说 ，但n个1/n相乘就为1，这就不是无穷小量了，当我们遇到 等情况时，我们可以用洛比达法则反复求导来考查极限，也可以用Taylor展式展开后，一阶一阶的比，我们总会在有限阶比出大小。第三次数学危机发生在1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾。我从很早以前就读过“理发师悖论”，就是一位理发师给不给自己理发的人理发。那么理发师该不该给自己理发呢？还有大家熟悉的“说谎者悖论”，其大体内容是：一个克里特人说：“所有克里特人说的每一句话都是谎话。”试问这句话是真还是假?从数学上来说，这就是罗素悖论的一个具体例子。罗素在该悖论中所定义的集合R，被几乎所有集合论研究者都认为是在朴素集合论中可以合法存在的集合。事实虽是这样但原因却又是什么呢？这是由于R是集合，若R含有自身作为元素，就有R R，那么从集合的角度就有R真包含于R。一个集合真包含它自己，这样的集合显然是不存在的。因为既要R有异于R的元素，又要R与R是相同的，这显然是不可能的。因此，任何集合都必须遵循R R的基本原则， 否则就是不合法的集合。这样看来，罗素悖论中所定义的一切R R的集合，就应该是一切合法集合的集合，也就是所有集合的集合，这就是同类事物包含所有的同类事物，必会引出最大的这类事物。归根结底，R也就是包含一切集合的“最大的集合”了。因此可以明确了，实质上，罗素悖论就是一个以否定形式陈述的最大集合悖论。从此，数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法，其中之一是把集合论建立在一组公理之上，以回避悖论。首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗，他提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成了一个无矛盾的集合论公理系统（即所谓ZF公理系统），这场数学危机到此缓和下来。现在，我们通过离散数学的学习，知道集合论主要分为Cantor集合论和Axiomatic集合论，集合是先定义了全集I，空集 ，在经过一系列一元和二元运算而得来得。而在七条公理上建立起来的集合论系统避开了罗素悖论，使现代数学得以发展。我们应该怎样看待这三次数学危机呢？我认为数学危机给数学发展带来了新的动力。在这场危机中集合论得到较快的发展，数学基础的进步更快，数理逻辑也更加成熟。然而，矛盾和人们意想不到的事仍然不断出现，而且今后仍然会这样。就拿悖论的出现来说，从某种意义上并不是什么坏事，它预示着更新的创造和光明，推进了科学的进程，我们应用辨证的观点去看待他。通过数学的发展史和这三次数学危机，我越来越感到M-克莱因教授著的一本书，是关于确定性的丧失，其中书中说道: 数学需要绝对的确定性来证实自身吗？特别是，我们有必要确保某一理论是相容的或确保其在使用之前是通过非经验论时期绝对可靠的直觉得到的吗？在其他科学中，我们并没要求这样做。在物理学中所有的定理都是假设的，一个定理，只要能够作出有用的预告我们就采用它。而一旦它不再适用，我们就修改或丢弃它。过去，我们常这样对待数学定理，那时矛盾的发现将导致数学原则的变更，尽管这些数学原则在矛盾发现前还是为人们所接受的。因此我们看问题的观念应该改变一下，数学是不确定性的。不管数学以后向何处发展，但就数学仍然是可用的最好知识的典范。数学的成就是人类思想的成就，作为人类可以达到何种成就的证据，它给予人类勇气和信心，去解决那些一度看上去不可测知的宇宙秘密，去制服那些人类易于感染的致命疾病，去质疑去改善那些人们生活中的政治体系，因此我们说数学在这个大自然中是无处不在的，数学在人类发展中的作用也是不可估量的。